• Victor Natal

Entendendo Juros Compostos com COVID-19

É exatamente isso que você está pensando: hoje vamos te explicar juros compostos usando o assunto mais atual do momento – o coronavírus! Assim você aprende algo útil, se distrai e entende um pouco mais como a matemática ajuda os cientistas a entender melhor como o mundo funciona!


Chega de frasezinha motivacional e vamos à vaca fria – como diria minha vovó, que hoje está isolada em casa fazendo sudoku.


Ouvimos falar sobre juros compostos desde a quinta série e isso nos assombra por um tempo considerável, parece difícil, parece chato e parece que nós não vamos usar na vida real. A grande verdade é que nada disso é verdade!


  1. O assunto é fácil (talvez apenas não tivéssemos a maturidade necessária na época);

  2. Aprender algo novo é sempre muito interessante;

  3. O sistema bancário brasileiro inteiro é baseado em juros compostos – você vai usar o conceito na sua vida ou vai ter o conceito usado contra você se não o aprender adequadamente.


Então voltando a nosso amigo da onça, o corona: vamos imaginar, inicialmente, que a taxa de infecção do vírus fosse parecida com o crescimento de juros simples e vamos fazer algumas contas básicas para entender como seria a evolução da doença ao longo do tempo. Depois faremos a mesma conta para juros compostos para entendermos o mundo de diferença que existe entre os dois.


Vamos começar com a fórmula do juros simples:

P = S x (1 + i x t)


Calma! Eu explico! Nessa fórmula, usando nosso caso de corona vírus:


  • P é o número de pessoas que teremos infectados em um dado momento do tempo;

  • S são os "sortudos" que primeiro pegaram o vírus;

  • i é a taxa de transmissão do vírus;

  • t é o ponto no tempo em que queremos avaliar a quantidade de pessoas infectadas.


Então vamos dar números a essas variáveis:


  • Digamos que S será 100 pessoas – por exemplo a comitiva do nosso querido presidente Jair Bolsonaro (também conhecido como Bozo, nas redes sociais), que foi até os EUA e voltou infectada para o Brasil;

  • Nossa taxa de infeção do vírus, meramente a título de exemplo será de 20% por mês;

  • Por fim, vamos avaliar a quantidade de pessoas infectadas daqui a 3 meses.


Logo, temos: S = 100, i=20%, t=3.


Substituindo na fórmula: P = 100 x (1 + 20% x 3) = 100 x (1 + 60%) = 100 x 1,6 = 160


Traduzindo para o bom português, o que nossa conta diz é que: a comitiva do Bozo de 100 pessoas, vai infectar outras 60 pessoas em 3 meses se o vírus se comportar numa taxa semelhante à que aconteceria no cálculo de juros simples.


Se você preferir pensar o mesmo problema com outro pano de fundo:

Se você tivesse R$ 100 e investisse por 3 meses a uma taxa simples de 20%a.m., ao final de 3 meses teria atingido R$ 160.


Abaixo colocamos um gráfico mostrando visualmente o resultado disso:



Pronto! Esse gráfico nos mostra como os casos evoluiriam no tempo a uma taxa de crescimento (juros) simples de 20%a.m.


Mas não estamos aqui para aprender juros simples.


Vamos continuar nosso exemplo com o nosso querido presidente Bozo e sua comitiva indo para os EUA. Vamos imaginar que os mesmos 100 membros foram infectados e vieram para o Brasil, vamos imaginar que a taxa de contágio do vírus ainda é de 20% e vamos avaliar quantas pessoas teriam a doença em 3 meses. A diferença: consideraremos a taxa (juros) composta!


Vamos começar com a fórmula do juros compostos:


P = S x (1 + i)^t


Muito parecida com a fórmula dos juros simples, não? A única diferença das duas é que o tempo para os juros compostos aparecem na forma de um expoente.


Vamos entender o que isso significa no nosso exemplo:

P = 100 x (1 + 20%)^3 = 100 x (1,728) = 172,8


Olhando para o exemplo acima, percebemos que se a doença seguisse uma taxa composta, o número de infectados depois de 3 meses seria de aproximadamente 173 pessoas – ou seja, 13 pessoas a mais do que no nosso exemplo dos juros simples.


Mas de onde raios vem essa diferença? O que isso significa?


A diferença, amigos, é uma mera questão de ponto de referência para o cálculo dos juros (ou pessoas infectadas):


Quando falamos de taxas simples, a referência é sempre a mesma – sempre aplicamos a taxa de crescimento ao mesmo número, que é valor inicial (no nosso caso, sempre aplicamos aos 100 membros da comitiva do Bozo).


Porém, nas taxas compostas, a referência muda conforme o tempo passa: para o primeiro mês, utilizamos os mesmos 100 casos, porém, no mês seguinte, assumimos que não só as 100 pessoas iniciais irão infectar outras numa taxa de 20%, como também as novas pessoas infectadas naquele primeiro mês também o farão no mês seguinte.


Isso significa que, no segundo mês, teremos que aplicar a taxa de 20% sobre 120 pessoas – 100 que tinham a doença inicialmente adicionadas das 20 pessoas novas que adquiriram o vírus. O raciocínio se repete para os outros meses e a tabela a seguir mostra isso de maneira clara.




Percebam como, nos juros simples, o valor de referência é sempre o mesmo, o valor inicial. Fazendo a analogia com pegar dinheiro emprestado no banco, nesse caso, você teria 20% de juros por mês sempre incidindo sobre os R$ 100 inicialmente tomados como empréstimo.


Já para os juros compostos, isso é verdade apenas para se calcular o valor para o primeiro mês.


Para os cálculos do segundo mês, a referência não é mais aquele valor inicial, mas sim o valor calculado no mês anterior – no nosso exemplo, ao invés de fazermos os cálculos de juros sobre R$ 100, fazemos sobre o valor do mês anterior (R$ 120).



As diferenças começam a ficar mais claras conforme avançamos no tempo.


Enquanto nos juros simples o valor para o terceiro mês é de R$ 160, nos juros compostos ele é de 172,8!


Quanto mais o tempo passa, maior é a diferença dos valores mensais quando comparamos os juros simples com juros compostos.


Agora, vamos comparar os dois modelos: o de crescimento simples e o de crescimento composto:



Agora que entendemos o conceito dos dois modelos e sabemos quais são as diferenças, vem a pergunta: como eu sei quando devo usar um ou outro?


Essa é uma excelente pergunta e a resposta é que você deve analisar o problema! Sempre pensando na referência para o período seguinte.


Vamos analisar alguns casos juntos:


  • Imagine que um fazendeiro tem 200 vacas e resolver comprar sempre 20 vacas por mês. Esse é um claro caso de juros simples. O fazendeiro vai sempre comprar 20 vacas, o que representa sempre 10% das 200 vacas iniciais – ou seja, a referência é sempre a mesma!

  • Agora imagine que o fazendeiro resolva que ele quer comprar todo mês 10% das vacas que ele já possui. No primeiro mês, ele compra 20 vacas – 10% das 200 iniciais. No segundo mês, nosso bom fazendeiro tem 220 vacas e, seguindo a regra de comprar 10% das vacas que ele já possui, ele compra mais 22 vacas nesse mês – totalizando 242 vacas. Note que a referência sobre a qual aplicamos a taxa de 10% nesse exemplo muda todo mês!


Espero que você tenha entendido juros compostos – agora vá assistir uns vídeos sobre o assunto, fazer uns exercícios ou mesmo dizer pro seu amigo que a quarentena também é cultura!


Antes de você ir embora, algumas curiosidades:


  1. O sistema bancário brasileiro – como em muitos lugares do mundo – funciona a base de juros compostos e não juros simples. O motivo disso é que, apesar de você pegar R$ 100 emprestados no banco, no mês seguinte, considerando uma taxa de 10% ao mês, você deve na verdade R$ 110. Então quando o banco calcula o quanto você deve no segundo mês, ele usa R$110 ao invés de R$ 100. Esse é um dos motivos pelos quais as pessoas que tomam dinheiro emprestado muitas vezes entram numa encrenca enorme!

  2. O Coronavírus está crescendo a uma taxa próxima a 25,8% ao dia... A título de curiosidade, colocamos a seguir um gráfico mostrando a evolução do número de pessoas contagiadas, de acordo com essa taxa de crescimento.



Para ilustrar: Começando com 100 infectados e o vírus crescendo a taxas simples de 20%a.m, teríamos 300 casos ao fim de dez meses. No outro cenário, começando com apenas 1 infectado e em apenas 60 dias, seriam incríveis 979.926 casos se calculado com a taxa de crescimento que o COVID-19 vem apresentando. Sabe o que isso quer dizer?


Fique em casa e vem aprender com a gente na BTM!


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